Black-Scholes-Merton 模型详解

Black-Scholes-Merton（简称 BSM）模型是现代金融学中用于欧式期权定价的经典理论框架，由 Fischer Black、Myron Scholes 和 Robert Merton 在 1973 年前后提出。该模型为衍生品市场的发展奠定了数学基础，并因此获得 1997 年诺贝尔经济学奖（Black 已故未获奖）。

模型基本假设

• 标的资产价格服从几何布朗运动；
• 市场无摩擦（无交易成本、无税收、可无限分割）；
• 无风险利率恒定且已知；
• 标的资产在期权有效期内不支付红利；
• 允许卖空标的资产；
• 期权为欧式期权（仅到期日可执行）。

BSM 定价公式

对于一个欧式看涨期权（Call Option），其价格为：

C = S₀N(d₁) - Ke⁻ʳᵀN(d₂)

对于欧式看跌期权（Put Option）：

P = Ke⁻ʳᵀN(-d₂) - S₀N(-d₁)

其中：

• S₀：当前标的资产价格
• K：行权价格
• r：无风险利率
• T：到期时间（以年为单位）
• σ：标的资产波动率
• N(·)：标准正态分布的累积分布函数
• d₁ = [ln(S₀/K) + (r + σ²/2)T] / (σ√T)
• d₂ = d₁ - σ√T

模型意义与局限性

意义：BSM 模型首次提供了一个理论上严谨、实践中可操作的期权定价方法，极大推动了金融衍生品市场的发展。

局限性：

• 假设波动率为常数，但现实中波动率具有“微笑”或“偏斜”特征；
• 不适用于美式期权（除非使用数值方法近似）；
• 忽略交易成本、流动性限制等现实因素；
• 对极端市场（如金融危机）预测能力有限。

实际应用

尽管存在简化假设，BSM 模型仍广泛应用于：

• 交易所期权的隐含波动率计算；
• 风险管理中的希腊值（Delta, Gamma, Vega 等）分析；
• 作为更复杂模型（如随机波动率模型）的基准。