Black-Scholes 模型详解

Black-Scholes 模型（简称 BS 模型）是金融学中用于计算欧式期权理论价格的经典数学模型，由 Fischer Black、Myron Scholes 和 Robert Merton 在 1973 年提出。该模型为现代金融衍生品定价奠定了基础，并因此获得了 1997 年诺贝尔经济学奖（Black 已去世未获奖）。

模型基本假设

• 市场无摩擦（无交易成本、无税收）
• 允许卖空标的资产
• 无风险利率恒定且已知
• 标的资产价格服从几何布朗运动
• 期权为欧式期权（仅能在到期日行权）
• 标的资产在期权有效期内不分红（原始模型）

Black-Scholes 公式

对于一份欧式看涨期权（Call Option），其理论价格为：

对于欧式看跌期权（Put Option）：

其中：

符号说明：

• C：看涨期权价格
• P：看跌期权价格
• S₀：当前标的资产价格
• K：行权价格
• r：无风险利率（年化）
• T：到期时间（以年为单位）
• σ：标的资产波动率（年化）
• N(·)：标准正态分布的累积分布函数

实际应用与局限性

Black-Scholes 模型广泛应用于期权交易、风险管理与金融产品设计中。然而，其假设在现实中并不完全成立，例如波动率并非恒定、市场存在跳跃、交易成本不可忽略等。因此，后续发展出许多改进模型，如局部波动率模型、随机波动率模型（Heston 模型）等。